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Título: Orígamí:história de um geometría axíomátíca
Autor: Monteiro, Liliana Cristina Nogueira
Orientador: Silva, Jorge Nuno Oliveira e
Palavras-chave: Origami
Geometria
Teses de mestrado
Issue Date: 2008
Resumo: O Origami é famoso por ser uma arte japonesa para dobrar papel. No entanto, vai para além disso. Nesta obra serão relatadas a história do Origami enquanto arte, a evolução do seu estudo pela Matemática, as suas possíveis aplicações no nosso quotidiano e, em particular, no ensino da Matemática. Vista por esta ciência, a Geometria do Origami baseia-se em reflexões numa folha de papel, que podem ser estendidas a um plano. Serão identificadas as sete possibilidades para uma única dobragem de Origami, que constituem os Axiomas de Huzita-Hatori, e analisar-se-á o que representa rigorosamente cada um desses axiomas. Demonstrar-se-á ainda que esta lista de axiomas abrange todos os casos possíveis para as dobragens únicas, ou seja, a lista é completa com os sete axiomas e, caso se retire algum deles, deixa de o ser. Através das dobragens, baseadas nos referidos axiomas, irá realizar-se a resolução dos problemas clássicos da trisecção do ângulo e da duplicação do cubo, impossíveis com a Geometria Euclidiana. Mais genericamente, será demonstrado que é possível resolver quaisquer equações de grau igual ou inferior a três com a Geometria do Origami. Mostrar-se-á ainda uma dobragem que permite a construção do número irracional π e serão efectuadas construções que permitem demonstrar: o Teorema da soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo, o Teorema de Pitágoras e o Teorema de Haga. Após estas demonstrações, construir-se-ão alguns Origamis geométricos, a saber: Tsuru (garça que simboliza esta arte); os polígonos regulares quadrado, triângulo, pentágono e hexágono; e as cónicas parábola, elipse e hipérbole. Por fim, serão efectuadas algumas comparações desta com outras geometrias. Mais precisamente com: Geometria Euclidiana, Geometria dos Fósforos, Geometria do Compasso, Geometria da Régua, Geometria do Compasso Enferrujado, Geometria da Régua e do Compasso Enferrujado, e Geometria da Régua Marcada. Mostrar-se-á que a Geometria do Origami permite efectuar todas as construções das restantes geometrias analisadas e supera todas elas, à excepção da Geometria da Régua Marcada, sendo que esta última permite as mesmas construções que o Origami
Origami is famous for being a Japanese art to fold paper. However, it goes moreover. In this paper will be revealed the history of the Origami while art, the evolution of its study in Mathematics, its possible applications in our day-to-day life and, in particular, in the Mathematics education. Seen by this science, the Geometry of Origami is based on reflections in a sheet of paper that can be extended to a plan. The seven possibilities for one only Origami folding will be identified. Those constitute the Axioms of Huzita-Hatori, and will be analyzed rigorously. It will also be demonstrated that this list of axioms encloses all the possible cases for one single folding, this is, the list is complete with the seven axioms and, in case of one of them be removed from the list, it stops being complete. hrough folding, based on the related axioms, this paper will show how to solve the classic problems of trisecting an angle and duplicate the cube, impossible in Euclidean Geometry. More generically, it will be demonstrated that it is possible tosolve any equations of degree equal or lower than three with Origami's Geometry. It will still reveal a folding procedure that allows the construction of the irrational numberπ and constructions that allow to demonstrate the theorems: of addition of the amplitude of the internal angles of a triangle, Pythagoras Theorem and Haga's Theorem. After these demonstrations, will be constructed some geometric Origamis, more exactly: Tsuru (bird that symbolizes this art); the regular polygons square, triangle, pentagon and hexagon; and conics parabola, ellipse and hyperbole. Ultimately, some comparisons of this with other geometries will be made. More exactly with: Euclidean geometry, Matches Geometry, Compass Geometry, Ruler Geometry, Rusted Compass Geometry, Ruler and the Rusted Compass Geometry, and Marked Ruler Geometry. Will be revealed that Origami's Geometry allows achieving all constructions of the remaining analyzed geometries and surpasses all of them, with the exception of Marked Ruler Geometry, once this last one allows the same constructions that the Origami
Descrição: Tese de mestrado, Matemática para o Ensino, 2008, Universidade de Lisboa, Faculdade de Ciências
URI: http://catalogo.ul.pt/F/?func=item-global&doc_library=ULB01&type=03&doc_number=000561234
http://hdl.handle.net/10451/1309
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