Utilize este identificador para referenciar este registo: http://hdl.handle.net/10451/20623
Título: Os números perfeitos e os primos de Mersenne
Autor: Costa, Tito José Minhava Botelho da
Orientador: Freitas, Pedro Jorge, 1970-
Palavras-chave: Matemática para Professores
Teses de mestrado - 2015
Data de Defesa: 2015
Resumo: Os números e as suas regularidades desde sempre fascinaram os matemáticos. Ao longo dos tempos, a busca de provas ou refutações de várias conjeturas impulsionaram o avanço do conhecimento matemático, levando ao aparecimento da Teoria dos Números. Muitos foram os matemáticos de renome que, em diferentes momentos históricos, deram o seu contributo para esta evolução. Mesmo as antigas civilizações Babilónia e Egípcia tinham já conhecimentos sobre os números, as suas propriedades e regularidades, apesar das escassas referências escritas existentes não permitirem aferir rigorosamente o quão profundo era esse conhecimento. Já o mesmo não acontece com a civilização grega, cuja curiosidade, engenho e genialidade de alguns dos seus matemáticos se encontra bem documentada. O texto matemático mais importante da época grega foi, indubitavelmente, a obra de Euclides os “Elementos”, na qual, nos seus capítulos VII, VIII e IX, existem referências e provas de alguns resultados que revelam um profundo conhecimento da Teoria do Números, em particular, dos números perfeitos e dos números primos, cujas propriedades e regularidades apaixonaram os matemáticos em diferentes momentos. Com este trabalho, pretendemos realizar uma súmula dos resultados e conjeturas mais relevantes referentes ao processo que alicerçou o estudo dos números perfeitos desde a antiguidade até aos dias de hoje. Atualmente, a procura de números perfeitos resume-se a encontrar os denominados primos de Mersenne, isto é, primos da forma 2n−1, cujo trabalho do monge minimita Marin Mersenne mostrou estarem na base da factorização de todos os números perfeitos conhecidos. Tentaremos ainda fazer referência a alguns dos desafios, que atualmente persistem, referentes aos números perfeitos e às suas propriedades, assim como de algumas conjeturas que, apesar de experimentalmente corroboradas com recurso aos meios computacionais atuais, ainda carecem de prova ou refutação.
Numbers and their regularities forever fascinated mathematicians. Throughout the ages, the search for evidence or refutations of several conjectures boosted the advancement of mathematical knowledge, leading to the appearance of number theory. Many were the renowned mathematicians who, in different historical moments, contributed to this development. Even the ancient Babylonian and Egyptian civilizations had extensive knowledge about the numbers, their properties and regularities, in spite of the scarce written references which do not allow us to accurately gauge how deep was this knowledge. The same is not true with the Greek civilization, win which curiosity, resourcefulness and genius of some of their mathematicians is well documented. The most important mathematical text of that time was, undoubtedly, the work of Euclid's "Elements", in which, in chapter IX, there are references and evidence of some results which reveal a deep knowledge of the theory of numbers, in particular, of perfect and prime numbers, whose properties and regularities fascinated mathematicians at different times. With this work, we intend to present a collection of results and conjectures there were more relevant for the process that allowed the study of perfect numbers from antiquity to the present day. Currently, the demand for perfect numbers resumes itself to find what is now known as Mersenne primes, in honor of the monk Marin Mersenne that, among others results, showed that primes numbers that can be written in the form 2n -1 are factors in the factorization of all known perfect numbers. We also intend to make reference to some of the challenges that currently persist in the study of perfect numbers and their properties, as well as some conjectures that, although experimentally corroborated with current computational means, still lack proof or refutation.
Descrição: Tese de mestrado em Matemática para Professores, apresentada à Universidade de Lisboa, através da Faculdade de Ciências, 2015
URI: http://hdl.handle.net/10451/20623
Designação: Mestrado em Matemática para Professores
Aparece nas colecções:FC - Dissertações de Mestrado

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