Algebraic aspects of tiling semigroups

Abstract

This thesis is devoted to the algebraic study of tiling semigroups, in the context of inverse semigroup theory. Tiling semigroups were originally motivated by the work of Johannes Kellendonk [23], in connection with a problem in solid state physics, formulated in terms of almost-groupoids by the same author in [24], and established by Kellendonk and Mark V. Lawson in [26] and Lawson in [32]. Since then, quite a lot of research has been done on this subject, mainly regarding tilings of the real line. In this dissertation, we aimed at furthering the study of one-dimensional tiling semigroups and extending the theory concerning this class to a special type of n-dimensional tilings, named n-dimensional hypercubic tilings. Following the tradition initiated by Lawson in [33], we often conduct our investigations in the more general setting of an inverse semigroup associated with a factorial language. The first three chapters are essentially introductory. In Chapter 1, we recall some selected background material; in Chapter 2, we present and investigate a construction, called generalized Bruck-Reilly extension, which will clarify the connection between hypercubic tiling semigroups and Bruck-Reilly extensions; in Chapter 3, we define all the concepts involved in the construction of the tiling semigroup, give a complete review on the research conducted on this subject, and introduce the notion of n-dimensional hypercubic tiling. In Chapter 4, we introduce the notions of language of an n-dimensional hypercubic tiling and of n-dimensional factorial language with the purpose of generalizing to n-dimensional hypercubic tiling semigroups a convenient representation of one-dimensional tiling semigroups in terms of a language associated with the tiling introduced by Lawson in [32]. We also present another representation of an n-dimensional hypercubic tiling semigroup as a Rees factor semigroup of a subsemigroup of a generalized Bruck-Reilly extension. In Chapter 5, we develop a description of a tiling semigroup, both one-dimensional and hypercubic, as a P -semigroup; in Chapter 6, we compute a presentation for one-dimensional tilings semigroups and discuss some aspects of the presentability of n-dimensional hypercubic tiling semigroups; in Chapter 7, we provide a necessary and sufficient condition for hypercubic tilings to give rise to isomorphic tiling semigroups.

Esta dissertação é dedicada a aspectos algébricos dos semigrupos de pavimentações, no âmbito da teoria dos semigrupos inversos. Os semigrupos de pavimentações tiveram a sua origem num trabalho de Johannes Kellendonk relacionado com um problema da Física do Estado Sólido [23]. Neste trabalho, Kellendonk procedeu à aplicação de uma abordagem proposta por Jean Bellissard [4] cerca de uma década antes; a mais importante contribuição de Kellendonk foi o recurso a pavimentações como modelos discretos de sólidos. Por pavimentação de dimensão n entenda-se um conjunto infinito numerável de azujelos que cobrem Rn intersectando-se, quando muito, nas suas fronteiras. Na sua proposta, conhecida como classificação K-teórica de hiatos, Bellissard formulou uma teoria que veio contornar a grande dificuldade em estudar directamente a álgebra dos observáveis associada ao movimento de uma part´ıcula num s´olido, devida à complexidade dos cálculos envolvidos. Desta teoria faz parte o estudo de uma álgebra-C_, que se pode identificar com a álgebra dos observáveis, a qual Kellendonk obtêm a partir da pavimentação. Posteriormente, Kellendonk adoptou uma abordagem diferente, ao construir a referida álgebra-C_ tendo como ponto de partida um quase-grupóide associado à pavimentação [24]. A introdução do semigrupo de uma pavimentação, tal como é até hoje considerado, deve-se a Lawson que, em [32] e num trabalho conjunto com Kellendonk [26], formula o quase-groupóide associado à pavimentação como um semigrupo inverso. Resumidamente, os elementos não nulos do semigrupo de uma pavimentação são subconjuntos finitos e conexos de azulejos da pavimentação com dois azulejos assinalados, identificados por translacção, e a operação definida entre eles assemelha-se à multiplicação das árvores de Munn. Não é por isso surpreendente que os semigrupos de pavimentações pertençam à importante classe dos semigrupos inversos E_-unitários; de facto, são inclusivamente semigrupos inversos fortemente E_-unitários. Desde que foram introduzidos, os semigrupos de pavimentações tˆem despertado o interesse e o trabalho de diversos autores, nomeadamente Dombi e Gilbert, Masuda e Morita, McAlister, e Zhu. Em muitos dos trabalhos destes autores é dada particular ênfase aos semigrupos de pavimentações de dimensão 1. No nosso trabalho, procurámos aprofundar o estudo dos semigrupos de pavimentações de dimensão 1 e generalizar a respectiva teoria a uma classe especial de pavimentações de dimensão n, ditas pavimentações hipercúbicas, que, para n = 1, coincidem com as pavimentações de dimensão 1. Relativamente ao semigrupo de uma pavimentação de dimensão 1 e ao semigrupo de uma pavimentação hipercúbica de dimensão n, os principais objectivos foram a obtenção de uma representação do semigrupo como um P_-semigrupo, o estudo de aspectos relacionados com a apresentação destes semigrupos e a determinação das condições em que os mesmos são isomorfos. Em seguida, daremos uma breve descri¸c˜ao dos capítulos em que este texto está organizado. Os primeiros três capítulos são essencialmente introdutórios. Do Capítulo 1 consta uma selecção de conceitos que, ainda que bem conhecidos, nem sempre são abordados, ou não o são de forma consensual, na bibliografia de referência da teoria dos semigrupos e dos semigrupos inversos, tal como é o caso dos P_-semigrupos, das apresenta¸c˜oes e das linguagens. Relativamente aos P_-semigrupos, é descrito um processo de constru¸c˜ao de uma representação de um semigrupo inverso fortemente E_-unitário como um P_-semigrupo a partir de um pré-homomorfismo idempotente-puro 0-restringido do semigrupo para um grupo com zero. Relativamente a apresentações, além de serem recordados os conceitos fundamentais e estabelecida alguma notação, são demonstrados resultados que se prendem com a discussão da finitude ou infinitude da apresentação de um semigrupo. No que respeita a linguagens, são definidas algumas classes de linguagens que irão surgir adiante relacionadas com o estudo de pavimenta¸c˜oes de dimensão 1. No Capítulo 2 é apresentada e estudada uma construção que generaliza a extensão de Bruck-Reilly, de um grupo por um endomorfismo, a qual será posteriormente usada para clarificar a relação entre as extensões de Bruck-Reilly e os semigrupos de pavimentações hipercúbicas. Foi de facto a semelhança entre as operações nestes definidas que motivou a formulação da nova extensão. Quanto ao Capítulo 3, são dadas aqui todas as definições envolvidas na noção de pavimentação de dimensão n e de semigrupo de uma pavimentação. Fazemos ainda um resumo do trabalho desenvolvido por outros autores sobre este tema no âmbito da teoria dos semigrupos inversos. Por fim, é apresentada a classe de pavimentações hipercúbicas de dimensão n. Devido às características particulares das pavimentações de dimensão 1, nomeadamente a de poderem ser identificadas com palavras bi-infinitas, o semigrupo S(T ) associado a uma pavimentação T de dimensão 1 é geralmente representado por meio de um semigrupo S(L(T )) definido à custa da linguagem L(T ) constituída por todos os factores da palavra bi-infinita. A esta linguagem dá-se o nome de linguagem da pavimentação e facilmente se observa que é uma linguagem factorial, pois contém qualquer factor de qualquer palavra a ela pertencente. Além disso, mostra-se que, partindo de uma linguagem factorial arbitrária L, é possível considerar um semigrupo inverso S(L), designado semigrupo inverso associado à linguagem factorial L, que generaliza o semigrupo de uma pavimentação 1, no sentido em que coincide com este quando a linguagem em causa é a linguagem da pavimentação. Esta representação de semigrupo de uma pavimentação de dimensão 1, devida a Lawson [32], é muito conveniente, na medida em que usa uma representação muito mais simples dos elementos do semigrupo, sem recurso expresso a classes de equivalência, e por isso usada em todas as investigações relacionadas com semigrupos de pavimentações de dimensão 1. No Capítulo 4, procedemos à generalização da representação do semigrupo de uma pavimentação hipercúbica de dimensão n através de uma linguagem factorial, para o que começámos por formular os conceitos de linguagem de uma pavimentação hipercúbica de dimensão n e de linguagem factorial de dimensão n. Em toda a nossa investigação, os resultados serão apresentados no caso mais geral dos semigrupos inversos associados a uma linguagem factorial sempre que tal for possível e relevante, ou feita a respectiva comparação com os semigrupos de pavimentações. Usando a representação do semigrupo de uma pavimentação hipercúbica como semigrupo associado a uma linguagem factorial, concretizamos, ainda neste capítulo, a relação entre semigrupos de pavimentações hipercúbicas e extensões de Bruck-Reilly, pela obtenção de uma representação dos primeiros como quociente de Rees de um subsemigrupo da extensão de Bruck-Reilly generalizada anteriormente desenvolvida. No Capítulo 5 constr´oi-se uma representação do semigrupo de pavimentação hipercúbica de dimensão n, ou mais geralmente, do semigrupo inverso associado a uma linguagem factorial de dimensão n, como P_-semigrupo, usando o processo descrito no Capítulo 1. Relativamente a este tópico, a semelhança entre o caso n = 1 e o caso n > 2 não podia ser maior. São ainda dados alguns exemplos que aplicam a representação obtida ao estudo de isomorfismos entre P_-semigrupos e a sua rela¸c˜ao com isomorfismos entre os P-semigrupos correspondentes. No Capítulo 6, procedemos ao estudo da apresentação de um semigrupo de uma pavimentação hipercúbica. Ao contrário do tópico anterior, o estudo de apresentações põe em evidência alguns contrastes entre as classes de semigrupos de pavimentações consideradas. Para o semigrupo de uma pavimentação de dimensão 1, calculamos uma apresentação do semigrupo e caracterizamos, à custa da noção de palavra minimal proibida, os semigrupos de pavimentações de dimensão 1 que são finitamente apresentados. Em particular, mostramos que todo o semigrupo associado a uma pavimentação periódica (de dimensão 1) é finitamente apresentado e determinamos em que condições é que o mesmo sucede para pavimentações ultimamente periódicas. Já relativamente aos semigrupos de pavimentações hipercúbicas de dimensão n > 2, mostramos que nunca são finitamente apresentados, nem mesmo como semigrupos fortemente E_-unitários que admitem um pré-homomorfismo idempotente-puro 0-restringido para um grupo abeliano com zero. Mostramos ainda que mesmo uma pavimentação periódica (hipercúbica de dimensão n) pode exigir um número infinito de relações para além daquelas que definem o semigrupo de uma pavimentação hipercúbica de dimensão n contendo todos os padrões sobre o mesmo alfabeto. No Capítulo 7 determina-se uma condição necessária e suficiente para que semigrupos de pavimentações hipercúbicas de dimensão n sejam isomorfos e, também aqui, a noção de linguagem da pavimentação revela-se muito apropriada. Em particular para n = 1, a caracterização obtida traduz-se na seguinte condição: ou as linguagens das pavimentações são a mesma a menos de uma bijecção entre os respectivos alfabetos ou, para além disso, as linguagens são o reverso uma da outra (ou seja, cada linguagem contém exactamente as palavras da outra escritas da direita para a esquerda). Por fim, incluímos um Apêndice onde estudamos o grupo que desempenhou um importante papel no estudo dos isomorfismos entre semigrupos de pavimentações, chamado grupo completo das simetrias de um hipercubo (de dimensão n) (em inglês, full symmetry group of the (n-dimensional) hypercube). São apresentados resultados relativos à ordem e aos geradores do grupo, desenvolvida uma representação matricial para os seus elementos e demonstrada uma decomposição do grupo no produto semidirecto do grupo simétrico pelo grupo aditivo Zn 2 . Ainda que alguns destes resultados sejam conhecidos, o seu tratamento raramente é desenvolvido nos textos de referência em teoria dos grupos. Uma lista de questões motivadas pela investigação desenvolvida e presentemente em aberto encerra esta dissertação.