Utilize este identificador para referenciar este registo: http://hdl.handle.net/10451/26516
Título: Analysis of the Rosenzweig-MacArthur model with bifurcation structures and stochastic processes
Autor: Fuentes Sommer, Pablo Elías
Orientador: Stollenwerk, Nico
Palavras-chave: Modelo de Rosenzweig-MacArthur
Bifurcação de torus
Sistemas estocásticos
Formulação estoquiométrica
Caos determinístico
Espectro de Lyapunov
Teses de mestrado - 2016
Data de Defesa: 2016
Resumo: Muitos modelos matemáticos utilizados na investigação científica da biologia populacional e da epidemiologia exibem comportamento determinístico dinâmico caótico emergindo de bifurcações no toro e além disso da destruição do atrator do toro. Estes modelos são geralmente bastante complexos e possuem dimensão elevada, consequentemente, o estudo de tais dinâmicas não é bastante intuitivo nestes modelos. Então um modelo mais simples, de dimensão menor, que exibe essas propriedades deve ser analisado para obter a análise mais pormenorizada do comportamento caótico de modelos complexos. Na dinâmica populacional, uma bifurcação no toro geralmente ocorre quando se considera a variação sazonal de um dos parâmetros de um sistema que já exibe uma bifurcação de Hopf na sua dinâmica. O principal objetivo da presente dissertação é estudar o comportamento dinâmico de um modelo predador-presa que apresenta uma bifurcação de Hopf. E, adicionando ainda mais complexidade ao modelo, pretende-se continuar uma análise das crescentes bifurcações no toro e do caos determinístico próximos da destruição do toro. Um dos modelos populacionais biológicos mais simples exibindo uma bifurcação de Hopf é o modelo Rosenzweig-MacArthur, devido à sua não linearidade cúbica proveniente da função de resposta Holling tipo II por meio de uma transformação orbitalmente equivalente. Assim, começámos por introduzir as equações de Lotka-Volterra para descrever modelos predador-presa e a categorização de funções de resposta por Holling em tipo I, II e III. No entanto, a função de resposta Holling tipo II, que neste modelo permite uma bifurcação de Hopf, devido à não linearidade cúbica observada, não está diretamente relacionada com a transição de uma classe de população para outra que permita uma versão estocástica automaticamente. Em vez disso, um argumento de separação de escala de tempo conduz ao modelo simples bidimensional Rosenzweig-MacArthur a partir de um modelo mais complexo, através de classes adicionais de predadores em digestão de alimentos e predadores em busca de presas. Isto significa que os predadores mudam o seu estado de busca para manuseio quando capturam uma presa dependendo da população das presas e da própria taxa de caça dos predadores. Os predadores que capturaram uma presa irão levar algum tempo para lidar com ela e digeri-la, enquanto neste estado de manuseio um predador não procura nem captura qualquer presa. Além disso, assume-se que as presas consomem algum tipo de recurso ou espaço, afim de procriar. Este recurso ou o espaço é limitado, portanto, a soma da população de presas e de recursos/espaço disponível é constante. Este modelo estendido permite uma generalização estocástica com a versão estocástica de uma bifurcação de Hopf, e,finalmente, também com a sazonalidade adicional que permite uma bifurcação no toro. Calcularam-se os estados estacionários do modelo reduzido bidimensional e do modelo tridimensional estendido. Também foi feita uma análise de estabilidade de ambos os sistemas que foi realizada através de matrizes Jacobianas e avaliação valores próprios. As simulações deterministas foram então conduzidas com um determinado conjunto de parâmetros que onde se encaixa o argumento de separação de escala. A simulação estocástica foi realizada em primeiro lugar na forma de uma equação de perda-ganho para as probabilidades de estados separados, a equação mestre. No entanto, a aproximação da equação mestre provou ser computacionalmente exigente e uma vez que para uma análise mais aprofundada dos expoentes de Lyapunov, esta simulação precisa ser calculada repetitivamente, portanto, seria necessária uma simulação mais rápida. Por isso, introduziu-se um tipo especial de equação mestre, a equação diferencial Fokker-Planck. Esta é derivada como uma expansão de Taylor na equação mestre com densidades. Isto permitiu simulações mais rápidas que são apropriadas para os próximos cálculos pesados dos expoentes de Lyapunov. Introduziu-se uma variação sazonal no modelo, ambos com forçamento sazonal direto e por extensão em um sistema de quatro dimensões através do oscilador de Hopf. O oscilador de Hopf prova ser uma ferramenta mais adequada para simular sazonalidade do que uma aproximação mais usual com um oscilador harmónico, devido ao oscilador de Hopf convergir para um ciclo limite de quaisquer de condições iniciais. Isto não seria viável com um oscilador harmónico, onde as variações estocásticas e também erros numéricos levam a saltos em diferentes trajectórias com diferentes ciclos limites como soluções. O parâmetro escolhido aqui para atuar periodicamente com um oscilador de Hopf foi a taxa de caça do predador. O que implica que, num modelo de biologia populacional, os predadores caçam presas mais depressa e mais facilmente durante certas épocas do ano. Isso também coincide com estudos anteriores realizados na dinâmica caótica das modelos predador-presa. Em versões sazonalmente forçadas o ponto fixo da bifurcação de Hopf, por um lado torna-se um ciclo limite, e por outro o ciclo limite de Hopf torna-se um toro, por conseguinte, a bifurcação de Hopf torna-se uma bifurcação no toro, e através da destruição do toro o parâmetro espaço pode seguir caos determinístico. Investigou-se essa rota para o caos também no ponto de vista de versões estocásticas, já que em sistemas do mundo real seriam observados apenas esses processos estocásticos. Al_em disso realizou-se uma análise do espectro de Lyapunov como um conjunto de expoentes. O espectro de Lyapunov é uma boa caracterização da taxa de separação de trajetórias com partida nas condições iniciais vizinhas. O espectro de Lyapunov fornece informações relevantes sobre o comportamento dinâmico do sistema. Assim, quando todos os expoentes de Lyapunov são negativos, as trajetórias a partir de condições iniciais vizinhas estão-se a aproximar com o tempo, e, por exemplo, aparecerem pontos fixos. Se o maior expoente de Lyapunov for igual a zero, então, as trajetórias estão-se a aproximar numa única direção e a separação é constante na outra direção, portanto, podem aparecer ciclos limite e uma bifurcação está a ocorrer pelo meio. E se pelo menos um dos expoentes é positivo, então, pelo menos, numa direção as trajetórias das condições iniciais vizinhas estão a crescer, por conseguinte, a dinâmica do sistema será caótica. Os expoentes Lyapunov podem ser calculados através de uma decomposição do produto de matrizes Jacobianas ao longo de uma órbita. Este produto de matrizes é decomposto numa matriz ortonormal e numa matriz triangular superior direita. Onde a matriz ortonormal transporta a informação sobre a direção da divergência entre as trajetórias, enquanto a matriz triangular superior direito transporta, principalmente nos seus elementos diagonais, a taxa de separação real em cada direção da matriz ortonormal. Durante a realização de um cálculo numérico do espectro de Lyapunov em algumas regiões de parâmetros surgem saltos inesperados na curva de outro modo relativamente suave do espectro. Estes saltos aparecem especificamente em simulações com a variação sazonal de uma força relativamente pequena. As irregularidades tornam-se saltos sobre as trajetórias entre atractores coexistentes. Para evitar estes saltos entre atratores os valores iniciais das simulações são modificados, para que seja possível ficar próximo de um atrator sem saltar para trajetórias vizinhas que estão na bacia de atração de um atrator diferente. O presente estudo mostra que a destruição do toro no caos com expoentes de Lyapunov positivos pode ocorrer em regiões de parâmetros onde também é possível a separação da escala de tempo e, portanto versões estocásticos do modelo. O movimento caótico é observado dentro línguas de Arnol'd de valores racionais da frequência de forçamento e da frequência própria do ciclo limite de Hopf não forçado. Tais bifurcações no toro e destruição do toro em caos também são observados noutros sistemas biológicos populacionais, e foram, por exemplo, encontrados em modelos epidemiológicos estendidos de várias estirpes sobre a dengue. Para entender tais cenários dinâmicos melhor também sob perturbações, o atual sistema de baixa dimensão pode servir como um bom caso de estudo.
The Rosenzweig-MacArthur is one of the simplest models in population biology to present a Hopf bifurction. By adding seasonal variation to the model the fixed point on one side of the Hopf bifurcation becomes a limit cycle and, on the other side of the bifurcation, the Hopf limit cycle is transformed into a torus, therefore the Hopf bifurcation becomes a torus bifurcation, and soon deterministic chaos can follow via torus destruction. We examine this route to chaos including stochastic versions that would be the only processes observed in real world systems. This study shows the torus destruction into chaos with positive Lyapunov exponents. This chaotic behavior is observed in parameter regions where also a time scale separation is possible, which enables stochastic versions of the model. The chaotic dynamics are observed inside Arnol'd tongues on the torus. Homologous bifurcation structures and torus destruction into chaos arise also in other population biological systems. These models, specially when studying real world data, are usually highly complex. Accordingly, the presented analysis can be used as a study case for more complex systems also in view of the stochastic modeling.
Descrição: Tese de mestrado em Matemática, apresentada à Universidade de Lisboa, através da Faculdade de Ciências, 2016
URI: http://hdl.handle.net/10451/26516
Designação: Mestrado em Matemática
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