Utilize este identificador para referenciar este registo: http://hdl.handle.net/10451/27945
Título: Numerical simulations in micromagnetism
Autor: Matos, Pedro Jorge Andrade
Orientador: Gasche, Thomas Peter, 1939-
Marques, José Pires
Palavras-chave: Micromagnetismo
Landau-Lifshitz
Landau-Lifshitz-Gilbert
Dissipa ção de Rayleigh
Método Elementos Finitos
Método Newton-Raphson
Método Elementos de Fronteira
Transformada de Fourier Discreta
Python
Teses de mestrado - 2017
Data de Defesa: 2017
Resumo: In this thesis we start by reviewing theoretical aspects of micromagnetism. Since many technological applications only depend on the behavior of magnetization of ferromagnets with the applied magnetic field at a macroscopic scale, there is no need to use a highly detailed theory like quantum mechanics. Micromagnetics is the framework that captures at a mesoscopic level the essential dynamical behavior of a magnetization field. It describes the combination of a very fast processional motion and a slower damping toward the magnetic field. The two central relations are the Landau-Lifshitz (LL) and Landau-Lifshit-Gilbert (LLG) equation's. We show how to derive the first assuming two main experimental and theoretical observations: (1) the local magnetization norm is conserved; (2) the equilibrium state that both the magnetic field and magnetization aligned. We then analyze the dynamics implied by four magnetic field contributions: the applied field; the anisotropy field which has a similar behavior to an applied field along the lattice axis; the stray field which depends on all other magnetic moments; the exchange field which is the most relevant term, it tends to smooth out the magnetization direction. We then introduce the LLG equation by representing the damping term by Rayleigh Dissipation. It is an implicit equation of the magnetization. Our goal is to develop a Python code to integrate this equation. We start then by combining it with the Finite Element Method to discretize space and the Implicit Midpoint Rule to discretize time. To avoid meshing the surroundings of the system that was required for introducing the asymptotic boundary conditions for the calculation of stray field potential, we use the Boundary Element Method and a new potential to restrict these calculations to the system. Using the Newton Raphson Method we obtain a linear system of equations that is solved at each time step yielding the evolution of the magnetization. Setting our code to solve a standard problem for permalloy block 120 x 120 x 10nm3 we compare our results of magnetization evolution with those of the OOMMF micromagnetic simulator to validate our code. The results of our code compare very well with those of the OOMMF simulation, specifically the time evolution of y component of magnetization, its Discrete Fourier Transform as well as the spatial distribution of the amplitudes of the Fourier coefficients for two distinct resonance frequencies.
Ao nível quântico, os materiais ferromagnéticos são caracterizados por magnetismo resultante do spin dos eletrões cuja descrição completa requer a aplicação da Mecânica Quântica. Estes materiais quando T << Tc são caracterizado por domínios i.e. regiões de momentos magnéticos com a mesma direcção e sentido, que são o resultado de fortes interações de troca. A orientação da magnetização local varia à escala destes domínios quando o sistema está em equilíbrio. Quando um campo magnético externo é aplicado sobre o sistema, a magnetização de cada domínio tende a alinhar com este campo. Se o campo for suficientemente forte passamos de múltiplos domínios, a um único monodomínio. Quando este campo é desligado, estes voltam a formar-se mas com orientações diferentes das iniciais. Este comportamento da magnetização total do ferromagnete em função do campo aplicado designa-se por curva de histerese e a sua taxa de variação quando o campo é zero determina a estabilidade da magnetização total. É o formato desta curva que permite aplicações tecnológicas de gravação e leitura de dados em discos rígidos, construção de eletroímanes ou libertação de calor para destruir células cancerosas. Com o objetivo de aplicar estes materiais é preciso traçar a curva de histerese. Observa-se que é uma relação entre variáveis na escala macroscópica. Conclui-se assim que uma descrição quântica do material seria desnecessariamente rigorosa. O que é necessário é informação a uma escala mesoscópica que capture as características observadas quanticamente e que reproduza o comportamento magnético a uma escala macroscópica. A área de trabalho que estabelece esta ligação é a de Micromagnetismo. Ao invés de partir dos momentos magnéticos associados a eletrões, divide-se a amostra em subvolumes que são grandes quando comparados com a constante de rede do ferromagnete, mas muito menores que o tamanho da amostra. A informação de como a magnetização varia no interior destes subvolumes é desprezada. Em relação à dinâmica da magnetização duas equações foram desenvolvidas uma por Landau e Lifshitz, e outra por Landau, Lifshitz e Gilbert. Estas equações descrevem a combinação de dois movimentos do vector magnetização e dependem do campo magnético local. Um movimento rápido de rotação da magnetização em torno da direcção do campo magnético e outro movimento mais lento de amortecimento que descreve a perda de energia do sistema. A evolução temporal deixa de ocorrer quando a magnetização está alinhada com o campo magnético local, obtendo-se finalmente uma configuração mesoscópica que está associada a um ponto da curva de histerese. Nesta dissertação iremos rever primeiro como obter a equação de Landau-Lifshits (LL) a partir de duas suposições: (1) a conservação da norma do vector de magnetização local; (2) o estado de equilíbrio é atingido quando magnetização e campo estão alinhados. A seguir apelando à mecânica clássica, Gilbert propôs representar o termo de amortecimento via dissipação de Rayleigh obtendo-se assim a equação de Landau-Lifshits-Gilbert (LLG). Nestas duas equações o campo magnético local apresenta quatro contributos: campo aplicado; anisotropia; campo desmagnetizante; campo de troca. No equilíbrio final observa-se o alinhamento entre magnetização e campo magnético. Ambas as duas hipóteses acima são válidas para todos os contributos magnéticos, a diferença fundamental só está na fonte do campo. O campo aplicado é determinado externamente. O termo de anisotropia é representado por um campo ao longo da estrutura cristalina do material. O campo desmagnetizante resulta da soma dos campos de todos os outros momentos magnéticos. O termo de troca ferromagnético tende a orientar momentos magnéticos vizinhos no mesmo sentido. Começamos com a equação de LLG, uma equação implícita na magnetização, e o campo desmagnetizante determinado pela equação de Poisson. Sobre o sistema de equações LLG e equação de Poisson aplicamos o \Implicit Mid-Point Rule", discretizando as derivadas temporais sob um certo incremento de tempo e substituindo a magnetização e o potencial por médias entre estes dois instantes de tempo. Obtém-se assim duas equações que os relacionam e que correspondem a um sistema implícito sobre o próximo estado em função da magnetização e do potencial no estado anterior ou inicial. Dada a complexidade destas equações e o facto de o incremento temporal ser pequeno, a magnetização e o potencial não variam muito neste intervalo, donde deixa de ser necessário informação sobre variações de ordem superior à primeira. Expandindo os resíduos destas duas equações até primeira variação do campo e do potencial, obtém-se como coeficientes os Jacobianos dos residuais. Este é o método de Newton-Raphson e é muito usado para resolver equações com escalas de tempo muito diferentes, como observado nas equações LL e LLG. Com este método define-se o resíduo associado à equação LLG e à equação de Poisson e procura-se a solução do sistema de equações correspondente. Para implementar computacionalmente a resolução destas equações que são contínuas no Espaço é preciso discretiza-las utilizando-se o Método de Elementos Finitos. O sistema e a sua vizinhança são divididos numa malha de tetraedros e a cada um dos vértices de cada tetraedro associa-se um vector com as três componentes de magnetização e o potencial magnético. Supondo que são funções lineares é possível representá-las como combinação linear de funções de base também lineares e que dependem da localização dos vértices de cada tetraedro. Desta forma o sistema de equações dos resíduos pode ser simplificado, mas devido à presença de segundas derivadas espaciais nos termos de troca e de \Poisson" é essencial reduzir a ordem destas equações. Para tal usa-se a forma fraca do sistema de resíduos expandidos em primeira ordem. O problema inicialmente contínuo passa a um sistema de equações lineares em que a incógnita é um vector cujas componentes são todos os incrementos de magnetização e potencial em todos os vértices da malha e com o qual é possível actualizar a configuração em cada instante. Para evitar ter de usar uma malha para o reservatório (espaço no exterior à amostra) iremos introduzir um novo potencial que satisfaz uma nova equação de Poisson que tem condições de fronteira de Neumann na fronteira do sistema. Com o Método Elementos de Fronteira é possível mapear a solução deste problema na fronteira para o potencial do campo desmagnetizante também na fronteira. Desta forma conseguimos substituir as condições de fronteira assimptóticas que originalmente requeriam a presença do reservatório, por um problema de Poisson com condições de fronteira de Dirichlet. O custo desta reformulação do cálculo do potencial do campo desmagnetizante é o aumento do sistema de equações a resolver e o cálculo da matriz que mapeia estes potenciais, que é densa e computacionalmente exigente de ser obtida. Contudo as suas entradas são constantes donde este bloco do sistema de equações só precisa de ser calculado uma vez. Cada um dos outros termos do campo magnético também irá contribuir com o seu Jacobiano. Após introdução de uma quadratura nodal para aproximar os integrais aí presentes obtém-se a forma final para ser implementada computacionalmente. Com estas expressões e os dois problemas de Poisson é possível calcular as entradas da matriz. Dado que tal tem de ser feito a cada incremento temporal o processo de cálculo e construção da matriz tem de ser rápido. Daí que tenhamos desenvolvido os algoritmos em Python para cada termo de LLG usando operações vectoriais. O sistema de equações pode agora ser resolvido o que permite actualizar um estado corrente de magnetização e dois potenciais ao longo de todo o sistema magnético para um estado seguinte. Constrói-se a história do sistema magnético, donde cálculos da sua curva de histerese são possíveis e assim, finalmente desenvolver as suas aplicações. Na parte final deste dissertação para validar o nosso código implementámos a resolução de um problema standard sobre um bloco de permalloy de 120x120x10nm3. Obtivemos resultados para a evolução da componente y da magnetização e da Transformada de Fourier Discreta, assim como a distribuição espacial das amplitudes e fases associados a duas frequências de ressonância distintas. Estes cálculos são comparados com os resultados publicados para o mesmo problema, concluindo-se que estão em boa concordância.
Descrição: Tese de mestrado, Física (Física da Matéria Condensada e Nanomateriais) Universidade de Lisboa, Faculdade de Ciências, 2017
URI: http://hdl.handle.net/10451/27945
Designação: Mestrado em Física (Física da Matéria Condensada e Nanomateriais)
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