A argumentação em matemática : investigando o trabalho de duas professoras em contexto de colaboração

Abstract

Este estudo é uma investigação com o professor sobre o seu trabalho. Tem dois objectivos: (1) descrever e analisar o trabalho de duas professoras orientado para o envolvimento dos seus alunos em actividades de argumentação matemática; (2) compreender potencialidades e problemas emergentes do desenvolvimento de um projecto de investigação colaborativa centrado na reflexão sobre as práticas destas professoras. Ao primeiro objectivo associam-se questões que visam dar a conhecer desafios com que as professoras se confrontaram ao prepararem o ensino e ao criarem nas suas aulas contextos facilitadores da emergência e desenvolvimento de argumentação matemática. Do segundo objectivo decorreram questões focadas em aspectos considerados relevantes ou problemáticos no desenvolvimento do projecto e naquilo que o facilitou ou constrangeu. A problemática da argumentação na aula de Matemática é analisada no enquadramento teórico do presente estudo a partir de contributos da área da filosofia e da educação matemática. É também abordado o tema da colaboração, discutindo-se significados atribuídos a este conceito e analisando-se possíveis modos de desenvolver uma investigação colaborativa. Em termos metodológicos o estudo insere-se no paradigma interpretativo colaborativo que aceita a existência de diversas formas legítimas de conhecer o mundo. Este paradigma enquadra diferentes modalidades de investigação que assentam no pressuposto de que a partilha deste conhecimento num grupo regulado por normas de comunicação autêntica, contribui para entender mais profundamente este mundo. Visando aprofundar a compreensão sobre a argumentação na aula de Matemática, constituiu-se um grupo designado por grupo de pesquisa, cuja actividade contemplou várias fases entrelaçadas de acção e reflexão que se informaram mutuamente. O estudo ilustra que a exploração, pelos alunos, de tarefas abertas é favorável à argumentação matemática. No entanto, os episódios de argumentação geram-se no interior das interacções da aula quando no decurso da acção o professor consegue encontrar formas de facilitar a sua emergência. Um bom conhecimento do currículo e de conexões entre os temas matemáticos nele incluídos, um investimento na promoção de interacções entre alunos e em actividades de formulação de conjecturas, sua avaliação e prova, uma cuidadosa selecção de tarefas e uma preparação cuidada e meticulosa das aulas podem dotar o professor de recursos que, em situação, lhe permitem improvisar o melhor modo de agir para favorecer e apoiar a argumentação. Actividades propícias ao envolvimento dos alunos em argumentação matemática parecem ser a negociação dos significados de conjectura, contra-exemplo e prova; a valorização da actividade de formulação de conjecturas; a partilha, na turma, de conjecturas formuladas durante fases de trabalho em pares/grupos; a análise colectiva de enunciados de conjecturas tendo por suporte um registo escrito observável pela turma; e a avaliação colectiva da plausibilidade de conjecturas. Além disso, a compreensão do valor e necessidade da prova e a aprendizagem da produção de provas, parecem ser facilitadas pelo enquadramento da prova em actividades de argumentação desencadeadas pela exploração de tarefas abertas que apelam à formulação de conjecturas. Parece ser igualmente importante envolver frequente e sistematicamente os alunos em experiências de prova; destacar, persistentemente, que uma conjectura não provada tem um carácter provisório; acompanhar a apresentação de ideias matemáticas que podem ser provadas mas que não o são, por uma explicação que permita salientar que a prova não foi feita e porque não o foi; aproveitar as situações que surgem no decurso das interacções da aula para salientar as limitações do raciocínio indutivo; e pôr a ênfase no valor da prova enquanto meio de iluminar o porquê da validade ou não validade de uma conjectura. Um contexto que se destaca como favorável à argumentação matemática é a exploração de situações de desacordo tendo em vista a obtenção de consensos matematicamente fundamentados pela turma. Estas situações podem ser desencadeadas pela exploração de tarefas que permitam fazer surgir vários processos de resolução e que suscitem a reflexão. A legitimação da possibilidade dos alunos exprimirem pontos de vista diferentes, tornar visíveis posições em confronto e instituir estas posições como objecto de reflexão individual e colectiva, são aspectos que facilitam a emergência e resolução de desacordos. Paralelamente, o estudo evidencia que a exploração de situações de divergência de ideias envolve riscos e que precavê-los passa por dar atenção a aspectos do domínio cognitivo e afectivo. Um outro aspecto que se destaca como particularmente relevante para a argumentação matemática é a negociação de normas sociais e normas sociomatemáticas que colocam a ênfase na expressão audível, na escuta atenta, na partilha de ideias, na manifestação pública de desacordos e na explicação e justificação de contribuições. Atributos do processo de negociação cuja conjunção parece ser significativa para ajudar os alunos a apropriarem-se destas normas, são a importância da sistematicidade e persistência; a pertinência de uma negociação contextualizada; e a essencialidade da coerência. No seu conjunto, estes atributos remetem para a necessidade de no processo de negociação existir uma forte e sistemática consistência entre o que explicitamente se diz e as mensagens que implicitamente se veiculam através do modo como se age. O envolvimento dos alunos em actividades de argumentação matemática parece ser, além disso, facilitado pela articulação frequente entre o trabalho de pares/grupos e o trabalho colectivo. Também a existência de suspensões temporárias de curta duração durante uma discussão colectiva, destinadas a proporcionar aos alunos oportunidades de reflexão sobre ideias enunciadas, parece favorecer a argumentação. Um dos aspectos fundamentais para não se desperdiçarem oportunidades de argumentação é existir uma demarcação clara e bem vincada entre as fases destinadas a trabalho de pares/grupos e as fases de trabalho com a turma. A orquestração de discussões colectivas revelou-se uma tarefa extremamente complexa e exigente, mas fortemente favorável à argumentação matemática. Repetir, reformular ou relatar as contribuições dos alunos, são estratégias discursivas que foram úteis às professoras para lidar com esta complexidade. Paralelamente, a prática de orquestrar discussões colectivas e a reflexão sobre o trabalho realizado contribui para o esbatimento das dificuldades. A análise dos desafios com que as professoras lidaram permite evidenciar a existência de seis espaços-problema que se interrelacionam: (1) ensinar o valor das conjecturas e provas em Matemática e promover e sustentar a produção de provas; (2) compreender as ideias apresentadas, instituí-las como recursos de apoio ao ensino e lidar com sentimentos que originam; (3) descentrar o discurso de si, transformar a aula numa comunidade que cuida e combater a irresponsabilidade matemática dos alunos; (4) apoiar a actividade dos alunos e favorecer a sua autonomia; (5) harmonizar e equilibrar diferentes vozes na orquestração de discussões; e (6) articular propósitos e agendas pessoais com vontades dos alunos. Quanto ao segundo objectivo do estudo, a investigação desenvolvida permite evidenciar que um trabalho em colaboração cuja equipa inclui pessoas com formações, experiências, perspectivas e contextos de trabalho diversificados e em que a reflexão sobre a prática do professor tem um lugar privilegiado, parece ser um contexto significativamente propício ao desenvolvimento do professor. Factores que favoreceram a colaboração foram a organização do trabalho, uma clara definição de papéis e responsabilidades, a possibilidade de dialogar autenticamente, a existência de uma negociação transparente, continuada e igualitária, a existência de um período de conhecimento recíproco entre todos os elementos do grupo de pesquisa prévio à observação de aulas das professoras e o tempo longo de duração do projecto.

This study is an investigation with a teacher about his/her work, directed by two goals: (1) to describe and analyze the work of two teachers who wish to involve their students in mathematical argumentation activities; and (2) to examine the potentialities and problems arising from a collaborative research project which focuses on reflection about these teachers’ practices. In the first objective, I intend to reveal the challenges faced by the teachers when planning and creating a classroom environment which facilitates the fostering and development of mathematical argumentation. The second objective deals with questions regarding aspects the teachers consider to be relevant or problematic in the development of the research project and making it easier or harder. The review of the literature addresses mathematical argumentation in the classroom through contributions from the fields of philosophy and mathematics education. It also includes a discussion about the meaning of collaboration and the analyses of different ways to develop a collaborative research project. Methodologically, this study is framed on the interpretative-collaborative paradigm, which assumes the existence of several legitimate forms of knowing the world. This paradigm embraces several styles of investigation that build on the assumption that the sharing of this knowledge by a group where communication is ruled by authenticity, contributes to the vaster, deeper understanding of this world. In order to understand mathematical argumentation better in the classroom, a group designated by inquiry group, has been formed. Its work involves several intertwined phases of action and reflection. This study shows that the students’ exploration of open tasks favours mathematical argumentation. However, the episodes of argumentation developed within classroom interactions when the teacher found ways to facilitate their emergence. Sound knowledge of the curriculum and of the connections between its mathematical subjects; an investment in the promotion of student interaction and in activities concerning the formulation, evaluation and proof of conjectures; a careful selecting of tasks; and a careful, meticulous preparation of classes, can provide the teacher with resources which allow him/her to find the best way to favour and support argumentation. Favourable activities for involving students in mathematical argumentation appear to be: the negotiation of the meanings of conjecture, counter-example and proof; valuing the activity of conjecture formulation; the class-sharing conjectures formulated during phases of pair/group work; the collective analysis of conjectural statement, based on a written text visually available to the class; and the collective evaluation of the plausibility of conjectures. Furthermore, understanding the value and the need for proof and learning about the production of proofs seem to be facilitated by argumentative activities triggered by the exploration of open tasks that call for conjecture formulation. Additionally, math argumentation is enhanced by: involving students frequently and systematically in proof experiments; persistently clarifying that a non-proved conjecture has a temporary character; accompanying the presentation of mathematical ideas that can be proved but are not, by an explanation that stresses that proof was not shown and why it was not shown; seizing the situations that arise during class interactions to highlight the limitations of inductive reasoning; and stressing the value of proof as a means of explaining why a conjecture is, or is not, a valid statement. One context that stands out as favouring mathematical argumentation is the exploration of classroom disagreements that attempt to achieve mathematically grounded consensus. These disagreements can be triggered by tasks that allow the emergence of several reasoning processes and give rise to reflection. Legitimizing the possibility of students expressing divergent points of view, highlighting positions in a confrontation, and establishing these positions as an object of individual and collective reflection are aspects that facilitate the emergence of disagreements and of discussions focused on how to overcome the divergence using mathematical reasoning. At the same time, the study shows that these discussions carry risks and that preventing them implies paying attention to cognitive and affective aspects. Another aspect that stands out as particularly relevant for the emergence and development of mathematical argumentation is the negotiation with students of social norms and sociomathematical norms that emphasize explaining and justifying, respecting the ideas of others, expressing positions audibly, listening carefully, sharing ideas, and articulating divergent viewpoints when they exist. The attributes of the negotiation process which appear to help students assimilate these norms significantly are: the importance of being systematic and persistent; the pertinence of a contextualised negotiation; and the essentiality of coherence. Together these attributes imply the need for the existence of a strong, systematic consistency between what is explicitly said and the messages that are implicitly conveyed through one’s behaviour in the negotiation process. Involving students in mathematical argumentation activities seems to be facilitated by the frequent articulation between pair/group work and collective work. During class-wide discussions, argumentation also appears to be favoured by the presence of temporary suspensions, aimed at providing the students with opportunities to reflect upon stated ideas. One of the aspects that may be essential to not waste argumentation opportunities is a clear, well-marked boundary between phases devoted to pair/group work and phases of whole-class work. The orchestration of collective discussions ended up being an extremely complex, demanding task, but highly favourable for mathematical argumentation. The teachers found the discursive strategies of repeating, reformulating or reporting students’ contributions useful for dealing with this complexity. At the same time, the practice of orchestrating collective discussions and the reflection about this practice contributed to the lessening of existing difficulties. Analyses of the challenges with which the two teachers dealt, reveals the existence of six problem-spaces that are intertwined: (1) teaching the value of conjectures and proofs in mathematics and promoting and sustaining the proofing process; (2) understanding and using student ideas as resources for teaching and dealing with personal feelings; (3) sharing with students the control of classroom mathematical discourse, transforming the class into a caring community and combating students’ mathematical irresponsibility; (4) supporting students’ activities and favouring their autonomy; (5) harmonising and balancing different voices within collective discussions; and (6) coordinating personal aims and agendas with the students’ desires. As for the second objective of the study, the investigation shows that collaborative work by a team that includes people with different competencies, experiences, perspectives, and working contexts, and where reflection upon teacher practice has a privileged place, seems to be a relevant context for teacher development. Aspects favouring collaboration within the collaborative research project were the organisation of work, a clear definition of roles and responsibilities, the possibility of authentic dialogue, the presence of equal and continuous negotiation, the existence of a period of reciprocal acquaintance prior to the teachers’ classroom observation, and the long-lasting duration of the project.