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Please use this identifier to cite or link to this item: http://hdl.handle.net/10451/3956

Title: The quality option for treasury inflation-linked bond futures
Authors: Rodrigues, Andrea Sofia Meireles
Advisor: Nunes, João Pedro Vidal
Keywords: Contratos futuros sobre TIPS
Modelo de Jarrow - Yildirim
Quality option
Risco de deflação
Teses de mestrado - 2009
Issue Date: 2009
Abstract: Em Janeiro de 1997, o Tesouro norte-americano introduziu o seu programa de Treasury Inflation-Protected Securities (TIPS). Tal como o seu nome indica, estas obrigações estão indexadas `a inflação na medida em que os seus cupões são constantemente ajustados através de um índice de preços. Deste modo, ao proporcionarem uma exposição consideravelmente mais reduzida a variações inesperadas do nível de preços, estas obrigações permitem reduzir os riscos associados a taxas de inflação variáveis, oferecendo um elevado grau de certeza sobre o valor real do investimento efectuado. Juntamente com os mercados para TIPS, também os mercados para derivados indexados à inflação têm vindo a crescer rapidamente e a tornar-se progressivamente mais populares, oferecendo novas oportunidades aos investidores para se precaverem contra riscos e para alcançarem objectivos financeiros que de outra forma, recorrendo unicamente aos activos indexados à inflação existentes, não estariam disponíveis. O principal intuito deste trabalho consiste então em propor uma fórmula de avaliação, explicita e livre de arbitragem, para contratos futuros sobre um cabaz de obrigações TIPS entregáveis com uma quality option associada. Para tal, é necessária a especificação de um modelo, sendo que, neste trabalho, nos baseamos no modelo Jarrow-Yildirim (doravante, modelo JY) descrito em Jarrow e Yildirim (2003). De acordo com Jarrow e Yildirim (2003, p.338), bem como Deacon, Derry e Mirfendereski (2004, pp.87-88), na literatura é usualmente aplicado o modelo Cox, Ingersoll e Ross (CIR) de um factor para descrever a estrutura temporal de taxas de juro reais, ao passo que Jarrow e Yildirim (2003) são os primeiros autores a sugerir o emprego de um modelo Heath, Jarrow e Morton (1992) (a partir de agora referido como HJM) na avaliação de TIPS e seus derivados. De facto, baseando-se na implementação de um modelo HJM para a avaliação de direitos contingentes sobre activos denominados em moeda estrangeira (estudado, por exemplo, em Amin e Jarrow, 1991), Jarrow e Yildirim (2003) usam uma analogia com o caso anterior (conhecida como foreign currency analogy) para formular um modelo HJM Gaussiano de três factores e livre de arbitragem para a evolução das curvas de taxas de juro nominais e reais, bem como do índice de inflação. Portanto, nesta abordagem, são consideradas como que duas economias distintas: a nominal (interpretada como a economia doméstica ou nacional) e a real (i.e., estrangeira), sendo o índice de inflação entendido como a taxa de câmbio entre as duas moedas. Apesar de alguns derivados indexados à inflação estarem já a ser transaccionados presentemente, nomeadamente swaps indexados à inflação, contratos futuros sobre o CPI e opções sobre TIPS,(1) ainda que estes últimos não sejam ainda muito comuns no mercado, pelo que sabemos não existem ainda futuros sobre TIPS a serem transaccionados no mercado, afirmação esta que é aliás suportada por Huang e Yildirim (2008, p.101). Todavia, e tendo em conta as maturidades limitadas actualmente disponíveis para os futuros sobre o CPI, juntamente com os elevados custos associados, Huang e Yildirim (2008, p.101) argumentam a favor da necessidade da criação de um mercado de futuros sobre TIPS, de modo a possibilitar uma protecção mais ampla e eficiente face ao risco de taxa de juro real ao qual as obrigações TIPS estão expostas. Assim sendo, a determinação de uma solução analítica para a avaliação de contratos futuros sobre TIPS constitui um tema relevante e a principal finalidade do presente trabalho. Além disso, e à semelhança do que se verifica para os futuros sobre obrigações do tesouro convencionais, consideramos a existência de uma delivery option à disposição do vendedor do futuro sobre TIPS, a qual constitui uma das opções mais importantes associada a um contrato futuro. Assim, neste caso, estudamos um contrato futuro, não sobre uma obrigação TIPS específica, mas sobre um cabaz de TIPS. A cada uma destas TIPS entregáveis está associado um factor de conversão e, na data de entrega, devido à existência da quality option já referida, o vendedor do futuro pode escolher qual das obrigações TIPS, de entre as do cabaz, pretende entregar ao comprador do futuro. Evidentemente, qualquer vendedor racional de futuros irá escolher a obrigação entregável que maximiza a diferença entre os cash-in e os cash-out flows, a qual é designada obrigação de menor custo (ou cheapest-to-deliver). Artigos anteriores foram dedicados à avaliação da quality option existente em contratos futuros sobre obrigações do tesouro convencionais, entre os quais destacamos: Carr e Chen (1997) no modelo CIR, Henrard (2006b) e Nunes e Oliveira (2007) num modelo HJM Gaussiano. Neste trabalho, o objectivo consiste em avaliar contratos futuros sobre TIPS quando a posição curta tem à disposição uma quality option, usando para tal o modelo proposto por Jarrow e Yildirim (2003). Uma breve síntese deste trabalho é a que se apresenta em seguida. Em primeiro lugar, nos Preliminares são incluídos uma variedade de conceitos gerais, bem como resultados relacionados com as distribuições Gaussianas univariada e multivariada, Teoria da Medida e Cálculo Estocástico, e ainda Cálculo Estocástico aplicado às Finanças, necessários para uma compreensão plena dos restantes capítulos. O capítulo seguinte, o qual se encontra dividido em duas secções e se baseia no artigo de Jarrow e Yildirim (2003), é dedicado à avaliação de TIPS no modelo JY. Iniciamos o capítulo com a apresentação de definições e conceitos básicos, e em seguida especificamos um modelo JY de três factores para descrever a evolução da estrutura temporal das taxas nominal e real e do índice de inflação. Tal como é referido no texto, trabalhamos apenas com três movimentos Brownianos, no entanto, caso se assuma que outros eventuais factores aleatórios explicam as movimentações do índice de inflação e das curvas de taxas de juro (nominal e real), então o modelo e os resultados obtidos podem ser generalizados a um número finito arbitrário de movimentos Brownianos. Começamos por proceder à descrição do modelo na medida física de probabilidade, sendo que, posteriormente, apresentamos a sua especificação na medida de martingala equivalente, cuja existência e unicidade demonstramos. Concluímos o capítulo com a formalização matemática e a avaliação de obrigações TIPS. No Capítulo 3, seguimos o trabalho de Huang e Yildirim (2008), onde o modelo JY é aplicado na determinação do preço de contratos futuros sobre TIPS. A fórmula que propomos neste trabalho é muito semelhante à obtida pelos autores. A principal contribuição deste trabalho, relativamente ao artigo referido, reside no facto do nosso resultado levar em consideração a opção contra a deflação existente nas obrigações TIPS, a qual é ignorada por Huang e Yildirim (2008) sob o argumento de que a deflação consiste num fenómeno improvável. Posteriormente, consideramos a existência de uma quality option associada ao contrato futuro, sendo o capítulo que se segue dedicado à determinação do preço de futuros com uma quality option. Nesse sentido, começamos por derivar a fórmula para o preço justo de um contrato futuro sobre um cabaz de obrigações TIPS entregáveis mas que não possui qualquer quality option e, em seguida, no contexto da designada conditioning approach (proposta, por exemplo, em Rogers e Shi, 1995, Nielsen e Sandmann, 2003 ou ainda Nunes e Oliveira, 2007, sendo que este último artigo constitui a principal referência na literatura seguida neste capítulo), sugerimos uma aproximação analítica para o preço de um contrato futuro com uma quality option. Notamos também que, ainda que um erro de aproximação seja introduzido, esta abordagem tem a vantagem de fornecer uma solução explícita com forma analiticamente fechada. Finalmente, no último capítulo, o qual conclui este trabalho, apresentamos um breve sumário dos principais resultados e contribuições deste trabalho. Incluímos ainda algumas sugestões para futuros estudos no sentido de melhorar os resultados obtidos, nomeadamente no que respeita à apresentação de uma estimação do erro de aproximação cometido, bem como da minimização do mesmo, para além da implementação numérica das fórmulas obtidas, por exemplo através da realização de uma simulação Monte Carlo, a qual não só nos permitiria testar a precisão dos resultados, como também a facilidade e eficiência da sua implementação. (1)-A derivação de fórmulas de avaliação destes derivados no modelo JY é proposta em Mercurio (2005), Crosby (2007) e Henrard (2006a), respectivamente.
The aim of this work is to propose an arbitrage-free and explicit pricing solution for futures contracts written on a delivery basket containing TIPS coupon bearing bonds when the short position has a quality option. Despite the fact that, to our knowledge, such contracts are not being traded in the market yet, this constitutes a relevant subject. We use the Jarrow-Yildirim model, described in Jarrow and Yildirim (2003), to fit the evolution of the inflation index and of the nominal and real term structure curves. We then organise our work into two parts. First, we follow the paper of Huang and Yildirim (2008) to determine the fair price of futures on TIPS, taking into consideration the option present on TIPS bonds that offers its owner protection against deflation. Lastly, based on the work of Nunes and Oliveira (2007) for the pricing of futures contracts on conventional Treasury bonds with a quality option, we consider the existence of a quality option embedded in the futures contract, which is now written on a basket of deliverable TIPS bonds. Through a conditioning approach (proposed in Rogers and Shi, 1995, Nielsen and Sandmann, 2003), we obtain an analytical formula that gives an approximation for the price of the futures contract.
Description: Tese de mestrado, Matemática Financeira, Universidade de Lisboa, Faculdade de Ciências, 2009
URI: http://hdl.handle.net/10451/3956
Appears in Collections:FC - Dissertações de Mestrado

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