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Please use this identifier to cite or link to this item: http://hdl.handle.net/10451/6196

Título: O papel de distribuições condicionalmente especificadas em estatística Bayesiana
Autor: Correia, Elisete Maria Rodrigues, 1966-
Orientador: Turkman, Maria Antónia Amaral, 1949-
Palavras-chave: Probabilidades e estatística
Teses de doutoramento - 2008
Issue Date: 2007
Resumo: A especificação da distribuição a priori, quando a informação é de natureza subjectiva ou inexistente é um problema que tem vindo a ser tratado na literatura Bayesiana, mais precisamente a procura de métodos que permitam obter e quantificar este tipo de informação de modo a construir uma distribuição a priori que possa ser usada na metodologia Bayesiana. Neste trabalho, começamos por abordar o problema da especificação da distribuição conjunta de vectores aleatórios bidimensionais discretos no caso em que são dadas as distribuições condicionadas completas. Este problema tem merecido considerável atenção por parte dos investigadores nas últimas décadas. Um dos problemas subjacentes ao uso das distribuições condicionadas é a compatibilidade. A teoria exposta foi iniciada por Arnold e Press (1989), os quais definiram condições necessárias e suficientes de compatibilidade e desenvolvida por Arnold, Castillo e Sarabia (1992; 2001), que caracterizaram condições gerais para a determinação, se possível, da distribuição conjunta no caso em que são dadas as distribuições condicionadas completas. Com base no trabalho por eles desenvolvido, Pérez-Villalta (2000) apresentou alguns resultados, baseados na característica de uma matriz, que permitem estudar a existência e unicidade de vectores aleatórios bidimensionais discretos, para o caso em que as distribuições condicionadas estão completa ou parcialmente especificadas. Os resultados teóricos são ilustrados com exemplos práticos. Para a resolução destes exemplos práticos foi usado o programa Mathematica 5.2. Ainda no âmbito do mesmo problema são apresentados três métodos, propostos por Arnold, Castillo e Sarabia (1999), os quais envolvem a resolução de um sistema de equações lineares sujeitas a restrições de não negatividade. A resolução deste sistema de equações envolve um programa designado por I-algorithm. De entre os vários métodos que permitem eliciar uma distribuição que quantifique razoavelmente as opiniões a priori, referiremos apenas três. O método proposto por Bernardo (1979; 1981) e mais tarde desenvolvido por Berger e Bernardo (1989; 1992a; 1992b; 1992c), permite construir distribuições a posteriori não subjectivas em estados de ignorância a priori. Com esta abordagem Bernardo pretendeu libertar-se de algumas incongruências que surgem associadas ao método de Jeffreys, principalmente no caso multiparamétrico. A grande diferença entre esta abordagem e a proposta por Jeffreys, é a distinção entre parâmetros de interesse e parâmetros perturbadores. Na ausência de parâmetros perturbadores e com certas condições de regularidade satisfeitas, a distribuição a priori de referência coincide com a distribuição a priori de Jeffreys. Por outro lado, Arnold, Castillo e Sarabia (1988) defendem que a forma mais natural e conveniente de visualizar uma densidade k-dimensional é através da especificação condicional. Assim, de acordo com o método por eles proposto, a eliciação da distribuição a priori é feita através das distribuições condicionais, ou seja, em vez de questionarmos o investigador acerca das suas crenças a priori para eliciação da distribuição conjunta para o parâmetro ¹, questiona-mo-lo acerca das suas crenças a priori para ¹1 conhecidos os restantes parâmetros, depois acerca de u2 conhecidos os restantes, etc. Deste modo, o processo de eliciação é mais fácil uma vez que estamos perante a eliciação de distribuições univariadas. Este método envolve o recurso à família de distribuições conjugadas condicionalmente especificadas. Relativamente a este problema, especificação da distribuição a priori, iremos considerar diferentes modelos. O problema em estudo diz respeito à realização de inferências sobre um determinado parâmetro, designado parâmetro de interesse, na presença de parâmetros perturbadores. Para cada um dos problemas iremos considerar as três abordagens para obter a distribuição a priori conjunta e consequente distribuição a posteriori para o parâmetro de interesse.
The specification of a prior distribution in situations where little relevant information is available, is a problem that has been treated in Bayesian literature, more precisely the search of methods that allow us to quantify this type of information in order to formulate prior distributions that can be used in the Bayesian methodology. In this work, we start by approaching the problem of the specification of the joint distribution of discrete bi-dimensional random vectors in the case where the full conditional distributions are given. This problem has deserved considerable attention on the part of the investigators in the last decades. One of the underlying problems to the use of the conditional distributions is the compatibility. The theory we present was initiated by Arnold and Press (1989), who derived necessary and sufficient conditions of compatibility and later developed by Arnold, Castillo and Sarabia (1992; 2001). They introduced general conditions for the determination, if possible, of the joint distribution when the complete conditional distributions are given. Following their work, P´erez-Villalta (2000) presented some results, based on the characteristic of a matrix, that allow the study of the existence and unicity of the joint distribution of discrete bi-dimensional random vectors, when the full conditional distributions are completely or are partially specified. The theoretical results are illustrated with practical examples. For the solution of these practical examples the program Mathematica 5.2 was used. Also for this same problem, Arnold, Castillo and Sarabia (1999) proposed three approaches. According to them, the problem of determining two families of conditional distributions that are compatible in the finite discrete case, may be viewed as a problem involving the solution of linear equations in restricted domains. The solution of this system of equations involves the use of a program defined for ¡-algorithm. We also study three approaches for the problem of specification of a prior distribution which describes a situation in which little relevant is available. The method considered by Bernardo (1979; 1981) and later developed by Berger and Bernardo (1989; 1992a; 1992b; 1992c), allows the construction of non-subjective posteriori distributions in the state of prior ignorance. With this aproach Bernardo intend to overcome the difficulties associated with Jeffreys’method, mainly in the multiparametric case. The difference between that approach and the one proposed by Jeffreys, is the distinction between parameters of interest and nuisance parameters. In the absence of nuisance parameters and with certain regularity conditions satisfied, the reference prior distribution of Bernardo and Berger coincides with the Jeffreys’ prior distribution. On the other hand, Arnold, Castillo and Sarabia (1988) argued that the most natural form to visualize a k- dimensional density is through the conditional specification. According to them, it is often easier to visualize conditional densities, or features of conditional densities, rather than marginals or joint densities. Thus, instead of questioning the investigator concerning its prior beliefs about the parameter ¹ for the eliciation of a joint distribution, one should question him on his prior beliefs for ¹1 knowing the remaining parameters, them questioning about ¹2 knowing the remaining parameters, etc. In this way the eliciation process easier because the problem reduces to the eliciation of univariate distributions. In the theory they developed these conditional distribuitons are supposed to be members of some well defined parametric families of distributions. Relatively to this problem of specification of the prior distribution, we will consider it for different models. We address the problem of making inferences about a specific parameter of interest in the presence of nuisance parameters and compare the implications on the posteriori distribution when different ways of accessing a non-informative prior are considering.
Descrição: Tese de doutoramento em Estatística e Investigação Operacional (Probabilidades e Estatística), apresentada à Universidade de Lisboa através da Faculdade de Ciências, 2008
URI: http://hdl.handle.net/10451/6196
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